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TD 3 EXO 5 |
On note R(t) la richesse d'un agent au cours du temps mesuré ici en années. en supposant que notre ami place sojn argent sur un compte remunéré au taux r supposé constant au cours du temps et qu'il n'a pas d'autre ressource de revenus, |
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2) |
Montrer que pour tout t on a : R'(t)=rR(t). |
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Soit D t le temps passé dans un petit intervalle de temps [t ; t + D t]Nous savons que la tichesse obtenu au temps t+D t est R(t+D t) et c'est égale R(t) + (D t ´ r ´ R(t) ) soit R(t+D
t) - R(t) = (D
t ´
r ´
R(t)) autrement écrit |
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3) |
En notant R(0) = R 0 , en déduire la valeur de R(t) en fonction de R0 ,t et r |
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Comme R'(t) = rR(t). alors (R'(t)/ R(t))=r et en intégrant respectivement les deux membres de l'égalité on obtient : Ln(R(t))=rt+k (k étaznt une constante réelle) soit en prenant l'exponentiel (application bijective car monotone ) de chaque membre de l'égalité, nous avons : R(t)=exp(rt+k) soit R(t)= l exp(rt) en posant l = exp(k) Puis comme R(0) = l exp(r ´ 0) = l d'où l = R 0 ,En conclusion : R(t)= R0 exp(rt) |
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4 ) |
En déduire la richesse de notre agent au bout de 5 ans s'il dispose d'une richesse initiale de 5000 Frs et que le taux d'intérêt est de 0,05. |
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Initialement il possède (soit au temps 0) : R(0)=5000 soit R 0= 5000le taux d'intérêt est r= 0,05 5 ans après sa richesse est R(5) et t=5. Ainsi d'après la question 3) R(5)= 5000 ´ exp( 0,05 ´ 5 ) par conséquent R(5) = 5000 ´ 1.284025417 = 6420.13 frsConclusion : au bout 3 ans la richesse de l'agent devient 6420.13 frs |
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5 ) |
Toujours dans le même exemple, déterminer au bout de combien de temps la richesse de l'individu aura été multiplié par 1,2. |
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Initialement il possède (soit au temps 0) : R(0)=5000 soit R 0= 5000le taux d'intérêt est r= 0,05 t ans après sa richesse est R(t) et t à chercher si R(t)= 1,2R(0). Ainsi d'après la question 3) R(t)= R(0) ´ exp( 0,05 ´ t ) soit en rapprochant les deux égalités R(0) ´ exp( 0,05 ´ t ) = 1,2R(0).et en divisant les deux membres de l'égalité par R(0) (valeur non nulle) on obtient : 1,2= exp( 0,05 ´ t ) et ainsi en prenant les logarithmes népériens de chaque membre de l'égalité nous avons Ln(1,2)=0,05t et ainsi t = Ln(1,2)/0,05 d'où t= 3.646431136 environ 3,6 années Conclusion : au bout 3 ans et 6/10 d'une année soit au bout de 3ans et 7mois, l'agent multipliera sa richesse initiale par 1,2 |
= r ´
R(t) 
tend vers le nombre dérivé R'(t) .(définition de la dérivée de R(t)).par conséquent R'(t) = rR(t).