TD 1 EXO 7A

Préliminaires :Soit a et b deux réels. On considère une suite (u_n)définie par son premier terme u₀ et la relation de récurrence u_n+1=au_n+b n N (suite arithmético-géométrique)

1)

Que se passe-t-il si a=1 ? On suppose dans la suite que a .1

Si a=1, u_n+1=u_n+b n N, et on remarque que c’est la forme d’une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison b, ainsi, u_n=u₀+nb n N

2)

Soit a la solution de x=ax+b, Montrer que la suite (v_n) définie pour tout n N par v_n=u_n-a est une suite géométrique de raison a,.

Il est immédiat que si a .1, alors a =

On remarque que nous avons les deux égalités : à partir desquelles, en soustrayant membre à membre, nous obtenons l’égalité : u_n+1 - a = a(u_n-a) soit v_n+1 = av_n . Ainsi on observe que la suite (v_n) se présente sous forme de suite géométrique de raison a et de premier terme v₀ égal à (u₀ - a)

2 )

(suite ) calculer alors u_n en fonction de u₀, a et b.

La suite (v_n) étant une suite géométrique de raison a et de premier terme v₀ égal à (u₀ - a) alors v_n=v₀aⁿ
soit u_n-a = (u₀ - a) aⁿ soit u_n = (u₀ - a) aⁿ +a, ainsi : n N, u_n = (u₀ - ) aⁿ +