(pour raison de dactylographie une notation utilisée dans ce corrigé pour la multiplication dans R sera notée aussi * ; exemple 2*3=6 ou 3x peut être notée aussi 3*x, par ailleurs un couple élément de R2 sera noté (x ;y)) La présence du terme du second degré dans la relation qui définit A nous permet de soupçonner que A pourrait ne pas être un sous espace vectoriel de R2 . La propriété qui ne serait pas vérifiée pourrait être la stabilité de la combinaison linéaire. En effet, par définition même de A, A est une partie de R2 et il est immédiat de voir que 0R2 de composantes (0 ;0) vérifie bien la relation qui définit A (0+2*02=0) donc d’une part A Í R2, d’autre part A ≠Æ. (A n’est pas vide) Les deux premières propriétés étant vérifiées reste la propriété concernant la stabilité de la combinaison linéaire. C’est-à-dire, il nous faut vérifier que si u (de composantes (x ;y) )et v (de composantes (x’ ;y’)) deux éléments quelconques de A et si l et m deux quelconques nombres réels alors la combinaison linéaire lu + mv est encore un élément de A c'est-à-dire que ces composantes (lx + mx’ ; ly + my’) vérifient encore la relation de définition de A : ( ly + my’)+2 (lx + mx’)2 =0 Or comme nous soupçonnons que A ne vérifierait pas cette
propriété, il nous suffit de trouver un contre exemple constitué
de deux éléments de A et deux éléments de R tels que la relation
de définition de A ne soit pas vérifiée.: prenons par exemple
u=(-1 ; -2) et v=(1 ;-2) deux éléments de A avec l=1 et m=1 deux
réels. On vérifie bien que u Î A :
(-2+2*(-1)2)=0, de même que v Î
A : (-2+2*(1)2)=0 alors que lu + mv n’appartient pas
à A car il ne vérifie pas la relation de définition de A :
( ly + my’)+
2(lx + mx’)2
=0 en effet :
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